Interpolación segmentaria cubica

Definición. El interpolante segmentario cubico (o interpolante de trazador cubico, o spline cubico) correspondiente a los puntos x0 < x1 < … < xn y los valores y0… yn, es una funcion S defnida en [x0; xn] que cumple con las condiciones siguientes:

1. Para todo i € {0… n- 1}, la restriccion Si = S¦[xi;xi+1] es un polinomio cubico:
        Si(x) = ai + bi(x- xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3 ?x € [xi; xi+1]:

2. S(xi) = yi para todo i € {0… n- 1}, i.e.
        Si(xi) = yi ?i€ {0… n-1} (1)
                        Y
        Si(xi+1) = yi+1 ?i € {0… n- 1}. (2)

3. S € C2[x0; xn]. Esto signifca que la derivada izquierda en xi coincide con la derivada derecha en xi, para todo i € {0… n- 2}:
        S'i+1(xi+1) = S'i(xi+1) ?i € {0… n-2} (3)
y la segunda derivada izquierda en xi coincide con la segunda derivada derecha en
xi, para todo i € {0… n-2} :
        S''i+1(xi+1) = S''i (xi+1) ?i € {0… n-2} (4)

4. Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera:
        S'' (x0) = S''n-1(xn) = 0 (frontera libre o frontera natural, splines cubicos naturales);
        S' (x0) = a, S' (xn) = ß, donde a y ß son numeros dados (frontera sujeta).

1. Observacion: el numero de los coeficientes incognitos es igual al numero de las condiciones. El numero total de los coeficientes incognitos ai, bi, ci, di es 4n, y el numero de las condiciones es igual a:
        2n + (n - 1) + (n - 1) + 2 = 4n:
Por eso podemos esperar que los coeficientes existen y estan determinados en manera unica.

2. Teorema (existencia y unicidad del interpolante segmentario cubico natural). Dados puntos x0 < x1 < … < xn y valores y0, y1… yn, siempre existe un unico interpolante segmentario cubico natural que corresponde a estos puntos y valores.

3. Construccion de trazadores cubicos.
        1. La condicion (1) implica que ai = yi.
        2. Es comodo extender (3) y (4) al caso i = n-1. La condicion de la frontera
                S'' (xn) = 0 ; significa que cn = 0.
        3. Denotemos xi+1-xi por hi. Usando la condicion (4) (sobre las segundas derivadas),
        despejamos di:
                di =1/3hi[(ci+1 - ci)] (i€ {0… n-1}) (5)

4. Escribamos la condicion (2) y sustituimos di por la expresion (5):
                yi+1 = yi + bihi +1/3[(2ci + ci+1)]h^2i :
        Despejemos bi:
                bi =1/hi[(yi+1 - yi)] – hi/3[(2ci + ci+1)] (6)

5. Escribamos la condicion (3):
                bi + 2cihi + 3dih^2i = bi+1:
        Sustituyamos di por la expresion (5):
                bi + (ci+1 + ci)hi = bi+1:
        Cambiamos el indice i por i - 1:
                Bi-1 + (ci + ci-1)hi-1 = bi:
        Sustituyamos bi por la expresion (6):
                1/hi-1[(yi – yi-1)] - hi-1/3[(2ci-1 + ci)] + (ci + ci-1)hi-1=1/hi[(yi+1 - yi)] -hi/3[(2ci + ci+1)] :
        Multipliquemos por 3:
                hi (2ci + ci+1) – hi-1 (2ci-1 + ci) + 3hi-1(ci + ci-1) =3/hi[(yi+1 - yi)] -3/hi-1[(yi - yi-1)] :
        Simplifiquemos:
                hi-1ci-1 + (2hi-1 + 2hi)ci + hici+1 =3/hi[(yi+1 - yi)] -3/hi-1[(yi – yi-1)] : (7)

"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo"

- Galileo Galilei -



"Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura."

- Bertrand Russell -